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第二十章 欧几里得算法（第1页）

欧几里得学生卡农对欧几里得说：“如果可以可靠的求出两个数字的最大公约数？”

欧几里得说：“用辗转相除法就可以，如果求a和b的最大公约数，如果a大于b，那就是a除以b，然后得到余数，然后再让除数b除以余数，然后一直让除数除以余数，最后余数为o的时候，得到的除数就是a和b的最大公约数。”

卡农说：“假如说和这两个数字。”

欧几里得说：“除以，等于余出。”

卡农说：“然后怎么求？”

欧几里得说：“除数除以余数，除以等于余”

卡农说：“然后除以等于余”

欧几里得接着说：“没错，然后除以，等于余”

卡农说：“除以，等于余”

欧几里得说：“除以，等于余o”

卡农说：“不能再往下了，余数已经为o，所以和的最大公约数为”

欧几里得说：“所以说，相当于没有最大公约数。”

在以上基础上，后来数学中展了环的概念，整环r是符合一下接个要求的：

、a关于加法成为一个abe群（其零元素记作o）；

、乘法满足结合律：abc=abc；

、乘法对加法满足分配律：ab+c=ab+ac，a+bc=ac+bc；

如果环a还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：

、乘法交换律：ab=ba。

如果交换环a还满足以下两条件，就称为“整环”（tegradoa）：

、a中存在非零的乘法单位元，即存在a中的一个元素，记作，满足：不等于o，且对任意a，有：ea=ae=a；

、ab=o=>a=o或b=o。

而后来也引入了欧几里得整环的概念，这是抽象代数中，这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。

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