笔趣乐

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第84章（第1页）

吾闻之若有所悟颔首称是，玥姐姐又取一卷轴展之，其上绘有诸般圆形之图乃言圆法。“圆者，天地间常见之形也，于天文之中亦多有涉也。且看此圆，其周径关系古已有究，今之算学于圆之研究益精矣。”她指图而言“先说彼圆之周长与直径之比名曰圆周率，其圜率值约为三点一四一五九二六……，此值精确求之颇费功夫，古之贤哲，以割圆之法累次分割圆以求其近似之值，已算得极精确之数也。”吾闻圆周率之名然未深知其求法，乃问：“玥姐姐何为割圆之法？”玥姐姐以笔于纸上画圆边画边解曰：“割圆法者，乃于圆内作内接正多边形，边数愈多，则此正多边形愈近于圆也。先作内接正六边形，其边长易知，可算出其周长，此周长与圆之周长相近而略小。继而倍增其边数，作内接正十二边形，再算其周长，如此递推，边数愈多，所算得之周长愈近于圆之真实周长，以所得周长除以直径，即得圆周率之近似值也。”吾观其图，想象割圆情景不禁叹古人智慧。玥姐姐又言：“圆法非唯圆周率一端也，于圆面积求算亦有妙法。”说罢，又于纸上画圆，且分割为下若干小扇形“可将圆分割为若干小扇形，若把此等小扇形拼接，近似可成一长方形。其长约为圆周长之半，即‘圜率’乘半径，其宽为圆之半径，依长方形面积之算法，圆之面积遂为‘圜率’乘半径之平方也。”言及此处，玥姐姐目光灼灼，续言：“而此圆法与方程术亦有关联焉。”

见吾大惊，她以笔蘸墨于纸上画一圆，且于圆上标注若干点又立数线“且看此圆，若吾欲知圆上某点之坐标，或欲究圆与形相交之情形，便需用方程术也。”说罢以方程术之例解之。“设圆之方程为（以某数减甲值）之平方与（以另一数减乙值）之平方加之，其和等于半径之平方。此中（甲值、乙值）为圆心坐标，半径为圆之半径。若有一直线其式为另一数等于某数乘斜率加常值与圆相交，吾欲知其交点则可将直线之方程代入圆之方程，得一关于某数之方程，解此方程可得交点之某数坐标，再代入直线方程可得另一数坐标也。”玥姐姐边解边以算筹演示，其步骤清晰条理分明，吾虽初闻此等算学于圆形应用然亦能勉力跟从其思路。“又如，欲究二圆相交之情形，亦需立方程以解之。设二圆之方程，其一为（以某数减甲值一）之平方与（以另一数减乙值一）之平方加之，其和等于半径一之平方；其二为（以某数减甲值二）之平方与（以另一数减乙值二）之平方加之，其和等于半径二之平方。欲知其交点，可联立此二方程，通过消元等法求解，可得交点坐标。”吾闻之恍然大悟，始知天文与算学联系紧密，方程术与圆法相互为用，于天文观测研究之中，实不可或缺也，玥姐姐又言及天文之诸多现象，如行星轨道多近于椭圆之形，而椭圆研究亦需用算学之方程术等法：“行星之轨道，虽非正圆，然其规律可循。以椭圆之方程（以某数之平方除以甲参数之平方与以另一数之平方除以乙参数之平方加之，其和等于一），此中甲参数、乙参数为椭圆参数，可描述其轨道大致情形，观测行星之时据多处数据，以方程术解算，可推知其位置速度等诸多要素…”吾听得入神，玥姐姐便接着言道：“虽吾等在这天地间只一粟，然正因渺小，吾等才更应将这相对自我活得灿烂。如星宿虽各有其位然皆绽着自身光芒，吾等亦可凭借自身德行才学在这世间留下属于自身印记，即便微小亦是珍贵无比。”

言罢，吾与玥姐姐继续赏星，辨认着一个个星宿，时而为新识星宿而欢呼雀跃时而又为星上深邃而心生敬畏，不知不觉间困意袭来，吾与玥姐姐竟就这般靠着石凳沉沉睡去。是夜，吾于梦中仿佛化作一缕轻烟与玥姐姐一同遨游星宿之间，四周繁星环绕璀璨夺目，吾伸手欲触却觉星宿似远似近如梦如幻，吾与玥姐姐携手穿梭于星宿之间，时而驻足观赏奇异星宿，时而又追逐着流星轨迹好不快活，真真是一场如梦似幻之游，叫人沉醉其中，不愿醒来。待得醒来晨曦已照于庭院，吾与玥姐姐相视一笑，皆从对方眼中看到了对昨夜赏星之美好回忆，玥姐姐对吾曰：“来年新春，若妳我皆有闲时，定要再一同赏星，可好？”吾忙点头应道：“一言为定！来年妳我一同赏星！”

情谊笃厚嬉游无间，皆以为总角之乐时，未料及长，人生之途分岔，竟睽违二十载之久。

昔者，吾家北上徙迁继而吾成婚育女，困于夫家诸般规矩礼仪行事皆兢兢然，心常忧惧不得自在，而姐则南下，志于寻星象奥秘继以研学算文之事，心无旁骛笃力钻研，终成赫赫之名为众推之天算学家。吾闻姐之名盛，而己于家室间劳心劳力，心中暗生诸般滋味难以言述。及闻姐父过世，吾整备仪礼往姐处拜谒，初至其门，吾尚思，往昔与姐相较，今吾于家室之事搓磨，姐于学界扬名，或可见其得意之色。

然待见姐，只见其发间已见霜华形容憔悴不堪，全无往昔之神采奕奕，吾心顿然揪紧，原本些许暗自计较之念登时消散唯余关切疼惜之情。姐见吾来初时怔愣，继而眼中泪花隐现却强抑未落，待其料理完诸般丧父后事便独坐一隅，口中喃喃唯闻“错了，错了……”之语不断，吾见其状心忧如焚，遂上前拥姐入怀，轻拍其背以作安慰，未几夫家遣人来唤吾归，往日，吾于夫家之命未敢有违，然此次不知何来勇气竟对来者正色言：“吾欲归时自会归去，今吾不欲归，腿长于吾身，孰能强令吾归？”言罢吾心亦有忐忑，然见玥姐姐如此消沉之态实不忍舍之而去也。

遂留于玥姐姐处相伴左右，思及玥姐姐久陷忧思，吾忽念及吾幼女苏诗性聪慧好问学对算学亦略有兴致，遂决意使苏诗常往姐处，依算学疑难向姐请教。

玥姐姐见之，揽苏诗于侧坐取册详览焉，昂首而言曰：“诗儿既欲知开方之术当为妳细述，且先明开方之意，譬如有一方田，其积已知，今欲求其边长，此即开方所求者也。”诗儿闻此颔首应道：“如此，似略有悟，然其算法奈何？”玥姐姐乃取笔濡墨，于案上之纸书一数字，六十四，指之而言：“今以六十四为例，欲求其平方根。吾等可先思之，何数自乘得六十四耶？”诗儿蹙额思之，摇头言：“吾尚不能遽得。”玥姐姐笑曰：“无?且听吾言，吾等可先自较小之数试起，二乘二为四，三乘三为九，四乘四为十六，五乘五为二十五，六乘六为三十六，七乘七为四十九，八乘八恰为六十四也，故六十四之平方根乃八是也。”诗儿恍然喜而笑曰：“原来如此似不甚难，然若数字更大，岂非要一一试算？”玥姐姐赞曰：“诗儿所思甚是故而有别法，先为妳说一种名曰‘估算法’。”言罢，又书一数如“二百二十五”。玥姐姐指之而言：“观此数，吾等可先思与其相近且易算平方根之数。如一百之平方根为十，四百之平方根为二十。二百二十五介于一百与四百之间，且更趋近于二百，故其平方根当在十与二十之间，且应更靠近十五。吾等可先试算十五乘十五，果得二百二十五，此数之平方根遂得也。”诗儿凝眸谛听，时而颔首时而思之，又问：“若数字非如此规整，又当如何？”

玥姐姐颔首，复书一数如“一百八十九”。“此数便非如前二者规整然亦有法，吾等仍可先依前法大致估之，一百之平方根为十，二百二十五之平方根为十五，一百八十九介于其间，吾等可先试算十二乘十二为一百四十四，十三乘十三为一百六十九，十四乘十四为一百九十六。可见一百八十九之平方根当在十三与十四之间。”说至此，她又濡墨书算筹之式以助诗儿明了，“此时，吾等可设其平方根为十三又若干分之几，设其为十三加某分之一（某为一整数），则可列等式（十三加一除以某）之平方等于一百八十九。展开此式，可得一百六十九加二十六除以某加一除以某之平方等于一百八十九。因某较大时，一除以某之平方极小可略去，遂可得近似等式一百六十九加二十六除以某约等于一百八十九，由此可算出某之值，进而得更精确之平方根也。”诗儿观之虽面露难色，然目光坚毅仍专心致志聆听思之。

玥姐姐见之温言励之：“诗儿莫忧，初习此术觉难乃常事，多练自会通晓。”时已过午日影渐移，吾命人备膳，众人暂歇学算之事，然诗儿于席间犹念念有词思忖开方之术，饭毕，诗儿又拉玥姐姐至案前，请其续讲。玥姐姐遂又道：“尚有一法，名曰竖式开方，此乃较为规整之算法，适用于多位数字之开方。”言罢，书一较大数，如“五千六百二十五”她边书边解：“先自右向左，每两位为一节，此数可分为‘五十六’与‘二十五’两节。先观最左一节‘五十六’，思何数平方最接近且不大于‘五十六’，七乘七为四十九，八乘八为六十四，故取七，书于上方作商，且于‘五十六’下书四十九，相减得七。”诗儿依言观之颔首示意明白，玥姐姐续道：“然后将下一节‘二十五’移下，成‘七百二十五’，此时，于已得之商七后添一数位（设为某），则新数为‘七十加某’，以‘七十加某’乘某，所得之数要最接近且不大于‘七百二十五’。吾等试算，若某为五，（七十加五）乘以五等于三百七十五，若某为六，（七十加六）乘以六等于四百五十六，若某为七，（七十加七）乘以七等于五百三十九，若某为八，（七十加八）乘以八等于六百二十四，若某为九，（七十加九）乘以九等于七百零一。可见某取七时最接近，遂书七于商后，且于‘七百二十五’下书‘五百三十九’，相减得一百八十六。”诗儿双目紧盯着算筹与数字，玥姐姐又道：“若仍有余数，可继续依此法添数位算之，直至满足所需精数。”此后，诗儿常往她处请教算学疑难，玥姐姐亦悉心教授，不仅开方术益精，更及余她算学。

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